数値解析

全体座標系のZ軸と部材座標系のx軸が平行である場合の方向余弦の式を求めます。図を見ながら順を追って考えれば、それほど難しい計算ではありません。（その１）では、平行でない場合の方向余弦の式を説明しましたので、その続編です。

全体座標系のZ軸と部材座標系のx軸が平行でない場合の方向余弦の式を求めます。図を見ながら順を追って考えれば、それほど難しい計算ではありません。空間ベクトルの扱い方についても解説しますので、ベクトルの内積や外積が難しいと感じている方も読んでみてください。

立体フレームのFEMでコードアングルから方向余弦を求める式を求めるには、空間ベクトルの外積と内積を使います。内積はベクトルのなす角度や正射影ベクトルを求めることができます。また、外積は2つのベクトルに垂直なベクトルを求めることができます。

立体フレームの解析は、コードアングルを利用すると部材の強軸・弱軸の向きを簡便に指定することができます。しかし、図を見てもコードアングルがどの角度を指し示すのかが分かりにくく、コードアングルの意義を理解するのも難しいのではないでしょうか。

３次元のFEMでは、座標系の方向や角度の正負を判断するために「右手座標系」や「右ネジの方向」が使われます。中学生で習う「フレミング左手の法則」や「右ネジの法則」とは違う部分があるので、混同しないように図を見ながら知識を整理しましょう。

回転行列による座標やベクトルの回転について説明します。なお、回転では同じ座標を回転する場合と、座標系を回転させる場合で計算方法が変わります。図を見ながら「座標」「節点荷重ベクトル」「節点変位ベクトル」の座標変換について説明したいと思います。

特にFEMのような比較的長いプログラムでは、変数名の付け方によって読みやすさが大きく変わります。しかし、本を調べても変数名はバラバラですし、命名理由も書かれていません。そこで、この記事では私が公開した平面トラスプログラムの変数命名メモを紹介ます。

Pythonの平面トラス解析プログラムの入力データ作成方法について説明します。慣れないうちはトラスの形状や荷重を配列で表現するのが難しいかもしれませんが、図を見ながら理解してください。各変数の内容を覚えなければプログラム全体が見えてきません。

list、NumPy配列の１～３次元配列について、参照渡し、浅いコピー、深いコピーなどの複製時間を計測しました。速度の差を感覚的に知っておくことは重要だと思います。私自身、予想外の計測結果になったものもあり、楽しむことができました。

バネの式は中学生に習いますが、これを行列で表現すると聞くと急に難しく感じてしまいます。でも、順を追って理解すれば難しいものではありません。Ｆ＝ｋ・xの式から要素剛性マトリクスを求めるまでの過程を説明したいと思います。

ご存じの通り（？）2015年から行列が高校数学から消えました。何考えているの！行列計算って情報処理の基本でしょ。中学生とPythonを勉強する記事を書いている私が言うのもなんですが、小中学生へのプログラムの早期教育よりも大切なのでは。

行列の積や転置行列についてNumpyの関数を使えば簡単ですが、関数を使わない方法も紹介します。PythonのFEMの書籍はまだ少ないため、CやFORTRANのコードを読むときに役に立ちます。熟語を覚えるような感覚でコードを覚えれば簡単です。

平面トラスの有限要素法のプログラムをPythonで組んでみました。以前に自分がつくったコードを引っ張り出してきて、Pythonに移植しました。このくらいのボリュームのプログラムにじっくり取り組むと面白いですね。

有限要素法のプログラムの自作にチャレンジするなら、「微小変形」は必ず理解しましょう。人間の感覚とずれているので知らなければ苦労します。解析では常識に近い初歩的な内容なので書籍やサイトなどでも説明が省略されていることが多いです。